If you are in Budapest next week, you have two big opportunities: attending the World of Coffee during the day and visiting local specialty coffee shops during the evening.
Victoria Arduino recommends:

Espresso Embassy – Arany János utca 15

Kávétársaság – Nádor utca 14

Tamp and Pull – Czuczor utca 3

Tamp and Pull – Váci utca 85

Kaffeine Espresso Bar – Lövőház utca 27

Kaffeine Allee – Október Huszonharmadika utca 8-10

Két szerecsen – Nagymező utca 14

Stand 25 – Hold utca 13

Émile – Orló utca 1.

See the map